Question

5．己知數列{a_n}與{b_n}的前n項和分別是S_n和T_n，已知S₂₀₁₇=3，和T₂₀₁₇=673．記C_n=a_nT_n+b_nS_n-a_nb_n（n∈N^*），那么數列{C_n}的前2017項和$\underset{\stackrel{2017}{∑}}{i=1}$C_i=2019．

Answer 1

分析 這是一道數列的綜合題型，我們可以先根據a_n=S_n-S_n-1，對C_n=a_nT_n+b_nS_n-a_nb_n（n∈N^*）進行變形，再結合數列求和的方法，對數列{C_n}的前2017項和進行累加，即可得到答案．

解答 解：∵a_n=S_n-S_n-1，b_n=T_n-T_n-1，
則C_n=a_nT_n+b_nS_n-a_nb_n=（S_n-S_n-1）T_n+（T_n-T_n-1）S_n-（S_n-S_n-1）（T_n-T_n-1）
=S_nT_n-S_n-1T_n-1，
∴c₂₀₁₇=S₂₀₁₇T₂₀₁₇-S₂₀₁₆T₂₀₁₆，c₂₀₁₆=S₂₀₁₆T₂₀₁₆-S₂₀₁₅T₂₀₁₅，
…
c₂=S₂T₂-S₁T₁，
c₁=S₁T₁，
則：數列{C_n}的前2017項和為：S₂₀₁₇T₂₀₁₇=3×673=2019，
故答案為：2019．

點評 對于由遞推關系給出的數列，常借助于S_n+1-S_n=a_n+1轉化為a_n與a_n+1的關系式或S_n與S_n+1的關系式，進而求出a_n與S_n使問題得以解決．