Question

5．設(shè)f（x）=|x-3|+|x-4|．
（1）解不等式f（x）≤2；
（2）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值的意義，分類討論，即可解不等式f（x）≤2；
（2）由柯西不等式：[（$\sqrt{2}$x）²+（$\sqrt{3}$y）²+（$\sqrt{6}$z）²][（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{3}}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{6}}$）²]≥（x+y+z）²，可得出a≥（x+y+z）²，從而可根據(jù)最大值為1，建立關(guān)于a的方程解出a值即可．

解答 解：（1）x＜3時(shí)，不等式化為-x+3-x+4≤2，∴x≥2.5，∴2.5≤x＜3；
3≤x≤4時(shí)，不等式化為x-3-x+4≤2，成立；
x＞4時(shí)，不等式化為x-3+x-4≤2，∴x≤4.5，∴4＜x≤4.5；
綜上所述，不等式的解集為{x|2.5≤x≤4.5}；
（2）由柯西不等式：[（$\sqrt{2}$x）²+（$\sqrt{3}$y）²+（$\sqrt{6}$z）²][（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{3}}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{6}}$）²]≥（x+y+z）²，
因?yàn)?x²+3y²+6z²=a（a＞0），所以a≥（x+y+z）²，
因?yàn)閤+y+z的最大值是1，所以a=1，
當(dāng)2x=3y=6z時(shí)，x+y+z取最大值，所以a=1．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)于柯西不等式的構(gòu)造是題目的關(guān)鍵，需要同學(xué)們靈活應(yīng)用．