Question

18．已知函數(shù)$f（x）=sin2x+sin（\frac{π}{3}-2x）$．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及相應(yīng)的x值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)$g（x）=f（\frac{π}{4}x）$，如圖，點P，M，N分別是函數(shù)y=g（x）圖象的零值點、最高點和最低點，求cos∠MPN的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡函數(shù)（x）為正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出它的最大值以及此時對應(yīng)的x值；
（Ⅱ）化簡函數(shù)g（x），過D作MD⊥x軸于D，根據(jù)三角函數(shù)的對稱性求出∠PMN=90°，再求cos∠MPN的值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=sin2x+sin（\frac{π}{3}-2x）$
=sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x…（1分）
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x$
=$sin（2x+\frac{π}{3}）$；…（3分）
∴f（x）的最大值為f（x）_max=1，…（4分）
此時$2x+\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}$，…（5分）
解得$x=kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$；…（6分）
（Ⅱ）函數(shù)$g（x）=f（\frac{π}{4}x）$=sin[2（$\frac{π}{4}$x）+$\frac{π}{3}$]=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$），…（7分）
過D作MD⊥x軸于D，如圖所示；

∵PD=DM=1，
∴∠PMN=90°，…（9分）
計算PM=$\sqrt{2}$，MN=2PM=2$\sqrt{2}$，PN=$\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，…（11分）
∴$cos∠MPN=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（13分）

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與運算問題，也考查了三角函數(shù)的計算問題，是綜合題．