Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若，是否存在整數(shù)使對任意成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）極大值不存在極小值；（2）2

【解析】

（1）通過求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于零，求得為的極大值點，求解得到函數(shù)極大值，根據(jù)單調(diào)性可知無極小值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為：對任意，恒成立問題，分別在和兩種情況下討論；當時，由可知不合題意；當時，可求得最大值為，只需最大值即可，由此得到，經(jīng)驗證可得為滿足題意的最小整數(shù).

（1）

令，則

分析知，當時，；當時，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

函數(shù)在處取得極大值，不存在極小值

（2）據(jù)題意，得對任意成立

對任意成立

設(shè)函數(shù)

可知對任意成立

①當時，對任意成立，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增

又

不滿足題設(shè)；

②當時，

令，則（舍），

分析知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

又函數(shù)在上單調(diào)遞減

所求整數(shù)的最小值為