Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若存在實數(shù)a∈[1，2]，對任意x∈[1，2]，都有f（x）≤1，則7b+5c的最大值是-6．

Answer 1

分析 對任意x∈[1，2]，都有f（x）≤1，可得f（1）≤1且f（2）≤1，存在實數(shù)a∈[1，2]，可得b+c≤0，2b+c≤-3，利用待定系數(shù)法，即可得出結論．

解答 解：∵對任意x∈[1，2]，都有f（x）≤1，
∴f（1）≤1且f（2）≤1，
∵存在實數(shù)a∈[1，2]，∴可得b+c≤0，2b+c≤-3，
令7b+5c=m（b+c）+n（2b+c），則$\left\{\begin{array}{l}{m+2n=7}\\{m+n=5}\end{array}\right.$，∴m=3，n=2，
∴7b+5c=3（b+c）+2（2b+c），
∴7b+5c≤-6，
∴7b+5c的最大值是-6，
故答案為-6．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質，考查不等式知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．