Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=5，E是CD的中點．
（1）證明：CD⊥平面PAE；
（2）若∠PBA=60°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，推出CD⊥AE，PA⊥CD，然后證明CD⊥平面PAE．
（2）求出的底面面積以及高即可求解幾何體的體積．

解答 證明：（1）連接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5．
又AD=5，E是CD的中點，所以CD⊥AE．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又PA∩AE=A，
所以CD⊥平面PAE．
（2）由已知可得$PA=4\sqrt{3}$，S_ABCD=16，$V=\frac{1}{3}×16×4\sqrt{3}=\frac{{64\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．