Question

6．已知△ABC是邊長為$2\sqrt{3}$的正三角形，EF為△ABC的外接圓O的一條直徑，M為△ABC的邊上的動點(diǎn)，則$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{FM}$的最大值為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 首先，以邊AB所在直線為x軸，以其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，然后，對點(diǎn)M的取值情況分三種情形進(jìn)行討論，然后運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二次函數(shù)的最值求法，求解其最大值．

解答 解：如圖所示，以邊AB所在直線為x軸，
以其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
∵該正三角形ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0），C（0，3），
E（0，-1），F(xiàn)（0，3），
當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M（x₀，0），
則-$\sqrt{3}$≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{ME}$=（-x₀，-1），$\overrightarrow{FM}$=（x₀，-3），
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$=-x₀²+3，
∵-$\sqrt{3}$≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$的最大值為3，
當(dāng)點(diǎn)M在邊BC上時(shí)，
∵直線BC的斜率為-$\sqrt{3}$，
∴直線BC的方程為：$\sqrt{3}$x+y-3=0，
設(shè)點(diǎn)M（x₀，3-$\sqrt{3}$x₀），則0≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{ME}$=（-x₀，$\sqrt{3}$x₀-4），$\overrightarrow{FM}$=（x₀，$\sqrt{3}$x₀），
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$=2x₀²-4$\sqrt{3}$x₀，
∵0≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$的最大值為0，
當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上時(shí)，
∵直線AC的斜率為$\sqrt{3}$，
∴直線AC的方程為：$\sqrt{3}$x-y+3=0，
設(shè)點(diǎn)M（x₀，3+$\sqrt{3}$x₀），則-$\sqrt{3}$≤x₀≤0，
∵$\overrightarrow{ME}$=（-x₀，-$\sqrt{3}$x₀-4），$\overrightarrow{FM}$=（x₀，$\sqrt{3}$x₀），
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$=-4x₀²-4$\sqrt{3}$x₀，
∵-$\sqrt{3}$≤x₀≤0，
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{FM}$的最大值為3，
綜上，最大值為3，
故選：A．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了平面向量的基本運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)等知識，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．