Question

3．已知函數f（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}+1}$，g（x）=x³-kx，其中a，k∈R．
（1）若f（x）的一個極值點為$\frac{1}{2}$，求f（x）的單調區(qū)間與極小值；
（2）當a=0時，?x₁∈[0，2]，x₂∈[1，2]，f（x₁）≠g（x₂），且g（x）在[1，2]上有極值，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，由題意可得f′（$\frac{1}{2}$）=0，解得a的值，可得f（x）和導數f′（x），由導數大于0，可得增區(qū)間；導數小于0，可得減區(qū)間；進而得到f（x）的極小值；
（2）運用基本不等式求出f（x）在[0，2]的值域，求出g（x）的導數，由題意可得極值點在（1，2）內，求出g（x）在[1，2]的最小值，比較g（1）和g（2）的值，可得g（x）的最大值，由題意可得f（x），g（x）的值域無交集，即可得到k的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}+1}$的導數為f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2ax+1}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
由f（x）的一個極值點為$\frac{1}{2}$，可得f′（$\frac{1}{2}$）=0，
即為a+1-$\frac{1}{4}$=0，解得a=-$\frac{3}{4}$，
則f（x）=$\frac{x+\frac{3}{4}}{1+{x}^{2}}$，f′（x）=$\frac{-{x}^{2}-\frac{3}{2}x+1}{（1+{x}^{2}）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{（2x-1）（x+2）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
由f′（x）＞0，解得-2＜x＜$\frac{1}{2}$；由f′（x）＜0，解得x＜-2或x＞$\frac{1}{2}$．
可得f（x）的增區(qū)間為（-2，$\frac{1}{2}$），減區(qū)間為（-∞，-2），（$\frac{1}{2}$，+∞）；
極小值為f（-2）=$\frac{-2+\frac{3}{4}}{1+4}$=-$\frac{1}{4}$；
（2）當a=0時，f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，當x∈[0，2]，f（x）≥0，
且0＜x≤2時，x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當且僅當x=1時，f（x）取得最小值2，
f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2}$．則f（x）在[0，2]的值域為[0，$\frac{1}{2}$]；
g（x）=x³-kx的導數為g′（x）=3x²-k，
g（x）在[1，2]上有極值，可得1＜$\sqrt{\frac{k}{3}}$＜2，
解得3＜k＜12，
由g（x）在（1，$\sqrt{\frac{k}{3}}$）遞減，在（$\sqrt{\frac{k}{3}}$，2）遞增，
可得g（x）在[1，2]的最小值為g（$\sqrt{\frac{k}{3}}$）=$\frac{k}{3}$$\sqrt{\frac{k}{3}}$-k$\sqrt{\frac{k}{3}}$=-$\frac{2k}{3}$$\sqrt{\frac{k}{3}}$＜0，
g（1）=1-k，g（2）=8-2k，
當k=7時，g（1）=g（2）=-6為g（x）的最大值，符合題意；
當k＞7時，g（1）＞g（2），1-k為g（x）的最大值，
由題意可得1-k＜0，即k＞1，故k＞7成立；
當k＜7時，g（1）＜g（2），8-2k為g（x）的最大值，
由題意可得8-2k＜0，即k＞4，故4＜k＜7成立；
綜上可得k的取值范圍是（4，12）．

點評 本題考查導數的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．