Question

15．在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．已知曲線C₁的極坐標方程為ρ=4cosθ，直線l的方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標方程及直線l的普通方程；
（Ⅱ）若曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₁上點P的極坐標為$（ρ，\frac{π}{4}）$，Q為曲線C₂上的動點，求PQ的中點M到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：ρ²=4ρcosθ，將ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入即可求得曲線C₁的直角坐標方程，消去參數(shù)t，即可求得直線l的普通方程；
（2）求得PQ中點M的坐標，利用點到直線的距離公式及輔助角公式化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得PQ的中點M到直線l距離的最大值．

解答 解：（1）由曲線C₁的極坐標方程為ρ=4cosθ，則ρ²=4ρcosθ，
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入整理：x²+y²-4x=0
曲線${C_1}：{x^2}+{y^2}-4x=0$，
將直線l參數(shù)t消去，即可求得直線l：x+2y-3=0；…（5分）
（2）由$P（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，直角坐標為（2，2），$Q（2cosα，sinα），M（1+cosα，1+\frac{1}{2}sinα）$，
則M到直線l的距離d=$\frac{丨1+cosα+2（1+\frac{1}{2}sinα）-3丨}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$丨sin（α+$\frac{π}{4}$）丨，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：0≤丨sin（α+$\frac{π}{4}$）丨≤1，
∴PQ的中點M到直線l的最大值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．…（10分）

點評 本題考查圓的極坐標，直線的參數(shù)方程，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．