15.在平面直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.已知曲線C1的極坐標方程為ρ=4cosθ,直線l的方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$(t為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線C1的直角坐標方程及直線l的普通方程;
(Ⅱ)若曲線C2的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$(α為參數(shù)),曲線C1上點P的極坐標為$(ρ,\frac{π}{4})$,Q為曲線C2上的動點,求PQ的中點M到直線l距離的最大值.

分析 (1)由題意可知:ρ2=4ρcosθ,將ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入即可求得曲線C1的直角坐標方程,消去參數(shù)t,即可求得直線l的普通方程;
(2)求得PQ中點M的坐標,利用點到直線的距離公式及輔助角公式化簡,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì),即可求得PQ的中點M到直線l距離的最大值.

解答 解:(1)由曲線C1的極坐標方程為ρ=4cosθ,則ρ2=4ρcosθ,
由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入整理:x2+y2-4x=0
曲線${C_1}:{x^2}+{y^2}-4x=0$,
將直線l參數(shù)t消去,即可求得直線l:x+2y-3=0;…(5分)
(2)由$P(2\sqrt{2},\frac{π}{4})$,直角坐標為(2,2),$Q(2cosα,sinα),M(1+cosα,1+\frac{1}{2}sinα)$,
則M到直線l的距離d=$\frac{丨1+cosα+2(1+\frac{1}{2}sinα)-3丨}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$丨sin(α+$\frac{π}{4}$)丨,
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知:0≤丨sin(α+$\frac{π}{4}$)丨≤1,
∴PQ的中點M到直線l的最大值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$.…(10分)

點評 本題考查圓的極坐標,直線的參數(shù)方程,考查點到直線的距離公式,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(1)若a1,a2,a3成等比數(shù)列,求實數(shù)p的值;
(2)若a1,a2,a3成等差數(shù)列,
①求數(shù)列{an}的通項公式;
②在an與an+1間插入n個正數(shù),共同組成公比為qn的等比數(shù)列,若不等式(qn(n+1)(n+a)≤e對任意的n∈N*恒成立,求實數(shù)a的最大值.

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10.已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=2.
(Ⅰ)證明:不論t為何值,直線l與曲線C恒有兩個公共點;
(Ⅱ)以α為參數(shù),求直線l與曲線C相交所得弦AB的中點軌跡的參數(shù)方程.

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20.已知點M的極坐標為(6,$\frac{11π}{6}$),則點M關(guān)于y軸對稱的點的直角坐標為(  )
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7.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)
x234567
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得到的回歸方程為$\widehaty=\hat bx+\hat a$,則(  )
A.$\hat a>0,\hat b>0$B.$\hat a>0,\hat b<0$C.$\hat a<0,\hat b>0$D.$\hat a<0,\hat b<0$

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4.已知圓C:x2+y2-2ax-2y+2=0(a為常數(shù))與直線y=x相交于A,B兩點,若∠ACB=$\frac{π}{3}$,則實數(shù)a=-5.

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5.某市對創(chuàng)“市級示范性學!钡募、乙兩所學校進行復(fù)查驗收,對辦學的社會滿意度一項評價隨機訪問了20位市民,這20位市民對這兩所學校的評分(評分越高表明市民的評價越好)的數(shù)據(jù)如下:
甲校:58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81;
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檢查組將成績分成了四個等級:成績在區(qū)間[85,100]的為A等,在區(qū)間[70,85)的為B等,在區(qū)間[60,70)的為C等,在區(qū)間[0,60)為D等.
(1)請用莖葉圖表示上面的數(shù)據(jù),并通過觀察莖葉圖,對兩所學校辦學的社會滿意度進行比較,寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論;
(2)估計哪所學校的市民的評分等級為A級或B級的概率大,說明理由.

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