Question

為了解學生身高情況，某校以10%的比例對高三年級的700名學生按性別進行分層抽樣調查，測得身高情況的統(tǒng)計圖如圖：
（1）估計該校學生身高在170～185cm之間的概率；
（2）從樣本中身高在180～190cm之間的男生中任選2人，其中身高在185～190cm之間的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由統(tǒng)計圖知，先求出樣本中身高在170～185 cm之間的學生的人數(shù)，再由樣本容量，求出樣本中學生身高在170～185 cm之間的頻率，由此能估計該校學生身高在170～185 cm之間的概率．
（2）由題意可知X=0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（1）由統(tǒng)計圖知，
樣本中身高在170～185 cm之間的學生有14+13+4+3+1=35（人），…（2分）
樣本容量為70，…（3分）
所以樣本中學生身高在170～185 cm之間的頻率f=

35

70

=0.5．…（4分）
故由f估計該校學生身高在170～185 cm之間的概率P₁=0.5．…（5分）
（2）由題意可知X=0，1，2，…（7分）
P（X=0）=

C 2 4

C 2 6

=

6

15

=

2

5

，…（8分）
P（X=1）=

C 1 4 • C 1 2

C 2 6

=

8

15

，…（9分）
P（X=2）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，…（10分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

…（11分）
X的期望為EX=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意可能事件概率計算公式和排列組合知識、頻率分布直方圖的合理運用．