Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}+x）•cosx+{sin^2}x$，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若$B=\frac{π}{4}$，a=2且角A滿足f（A）=0，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和誘導(dǎo)公式以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（A）=0，求解A，利用正弦定理求解b，根據(jù)sinC=sin（A+B）求解sinC，即可求解△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）化簡$f（x）=\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}+x）•cosx$$+{sin^2}x=\frac{1}{2}-sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∴$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，
∴$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]$，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=0，即$\frac{1}{2}-sin（2x+\frac{π}{6}）=0$，
又∵0＜A＜π
∴$A=\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得：$b=\frac{sinB}{sinA}•a=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
$sinC=sin（A+B）=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$，
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2×\frac{{2\sqrt{6}}}{3}×\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，同時(shí)考查了正弦定理的計(jì)算．利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題