Question

14．已知橢圓x²+2y²=m（m＞0），以橢圓內(nèi)一點M（2，1）為中點作弦AB，設(shè)線段AB的中垂線與橢圓相交于C，D兩點．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的m，使得A，B，C，D在同一個圓上，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，a=$\sqrt{m}$，b=$\sqrt{\frac{m}{2}}$，c=$\sqrt{\frac{m}{2}}$，即可求橢圓的離心率；
（Ⅱ）CD的中點為M，證明|MA|²=|MB|²=d²+$|\frac{AB}{2}{|}^{2}$=$|\frac{CD}{2}{|}^{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，a=$\sqrt{m}$，b=$\sqrt{\frac{m}{2}}$，c=$\sqrt{\frac{m}{2}}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入作差，整理可得（x₁-x₂） （x₁+x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
依題意，M（2，1）是AB的中點，∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，從而k_AB=-1．
直線AB的方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0．
與橢圓方程聯(lián)立，可得3x²-12x+18-m=0，∴|AB|=$\sqrt{2}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{8m-48}{3}}$．①
∵CD垂直平分AB
∴直線CD的方程為y-1=x-2，即x-y-1=0代入橢圓方程，整理得3x²-4x+2-m=0．
又設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），CD的中點為M（x₀，y₀），
則x₃，x₄是方程③的兩根，
∴x₃+x₄=$\frac{4}{3}$，∴M（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$）
于是由弦長公式可得|CD|=$\sqrt{2}$•|x₃-x₄|=$\sqrt{\frac{24m-16}{9}}$．②
點M到直線AB的距離為d=$\frac{|\frac{1}{3}-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．③
于是，由①②③式及勾股定理可得|MA|²=|MB|²=d²+$|\frac{AB}{2}{|}^{2}$=$|\frac{CD}{2}{|}^{2}$，此時|AB|＜|CD|
故A、B、C、D四點均在以M為圓心，|$\frac{CD}{2}$|為半徑的圓上．

點評 本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，難度較大，解題時要仔細(xì)審題，注意公式的靈活運用．