Question

10．已知點(diǎn)A，B，C是單位圓O上圓周的三等分點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$
（ I）求證：（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$
（ II）若|t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=1，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （ I）由題意可得$|\overrightarrow{a}|$=$|\overrightarrow|$=$|\overrightarrow{c}|$=1，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$兩兩夾角均為120^°，計(jì)算（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=0，即可證明（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$．
（ II）由|t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=1，可得$（t\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）^{2}$=${t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$+$2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=1，又$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=-$\frac{1}{2}$，代入即可得出．

解答 解：（ I）由題意可得$|\overrightarrow{a}|$=$|\overrightarrow|$=$|\overrightarrow{c}|$=1，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$兩兩夾角均為120^°，
所以：（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=1×1×cos120°-1×1×cos120°=0，所以（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$．
（ II）因?yàn)閨t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=1，所以$（t\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）^{2}$=${t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$+$2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=1，
因?yàn)?\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$=-$\frac{1}{2}$，
則t²+1+1-t-t-1=1，則t²-2t=0，解得t=0或2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量三角形法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．