Question

9．已知橢圓C₁和雙曲線C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有相同的焦點，且橢圓C₁與雙曲線C₂的離心率e₁，e₂，滿足2e₁=e₂
（Ⅰ）求橢圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）P為橢圓C₁上的任意一點，過P點的直線與直線x+y=8夾角為$\frac{π}{3}$，且交于點Q，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得雙曲線的焦點和離心率，可得橢圓的焦點和離心率，設(shè)出橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得a²-b²=3，e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且c=$\sqrt{3}$，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）求得|PQ|=$\fracvkjholm{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d，（d為P到直線x+y-8=0的距離），即要求|PQ|的最大值，則只需要P到直線x+y-8=0的距離最大即可．設(shè)與x+y-8=0平行且與橢圓相切的直線為x+y+t=0，代入橢圓方程，運用判別式為0，可得t，再由兩直線平行的距離公式可得d，進而得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）雙曲線C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦點為（-$\sqrt{3}$，0），（$\sqrt{3}$，0），e₂=$\sqrt{3}$，
設(shè)橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得a²-b²=3，
e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且c=$\sqrt{3}$，
解得a=2，b=1，
則橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）過C₁上點P作與直線l₀：x+y-8=0夾角為$\frac{π}{3}$的直線l，l交l₀于點Q，
可得|PQ|=$\fracsccadzd{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d，（d為P到直線x+y-8=0的距離），
即要求|PQ|的最大值，則只需要P到直線x+y-8=0的距離最大即可．
設(shè)與x+y-8=0平行且與橢圓相切的直線為x+y+t=0，
即x=-（y+t），代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得（y+t）²+4y²=4，
整理得5y²+2ty+t²-4=0，
由判別式△=0得△=4t²-20（t²-4）=0，
即t²=5，得t=±$\sqrt{5}$，
即切線為x+y+$\sqrt{5}$=0或x+y-$\sqrt{5}$=0（舍去），
則x+y+$\sqrt{5}$=0到x+y-8=0的距離d=$\frac{|-\sqrt{5}-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$，
則|PQ|的最大值為|MP|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d=$\frac{8\sqrt{6}+\sqrt{30}}{3}$．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用直線和橢圓相切以及平行直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．