Question

6．已知數列{a_n}中，a₁=4，n（a_n-a_n-1-2）=a_n-1+2n²，則$\frac{1}{{a}_{12}}$+$\frac{1}{{a}_{13}}$+$\frac{1}{{a}_{14}}$+…+$\frac{1}{{a}_{23}}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{48}$
• B． $\frac{1}{24}$
• C． $\frac{23}{48}$
• D． $\frac{11}{24}$

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{{a}_{n}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n}$=2，運用等差數列的定義和通項公式可得a_n=2n（n+1），$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由數列的求和方法：裂項相消求和，化簡即可得到所求和．

解答 解：a₁=4，n（a_n-a_n-1-2）=a_n-1+2n²，
可得na_n-（n+1）a_n-1=2n（n+1），n≥2，
即有$\frac{{a}_{n}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n}$=2，
可得數列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是首項為$\frac{{a}_{1}}{2}$=2，公差d=2的等差數列，
即有$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=2+2（n-1）=2n，
則a_n=2n（n+1），
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則$\frac{1}{{a}_{12}}$+$\frac{1}{{a}_{13}}$+$\frac{1}{{a}_{14}}$+…+$\frac{1}{{a}_{23}}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{13}$+$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{14}$+$\frac{1}{14}$-$\frac{1}{15}$+…+$\frac{1}{23}$-$\frac{1}{24}$）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{12}$-$\frac{1}{24}$）=$\frac{1}{48}$．
故選：A．

點評 本題考查等差數列的定義和通項公式的運用，考查轉化思想和化簡運算能力，以及數列的求和方法：裂項相消求和，屬于中檔題．