Question

16．已知函數(shù)f（x）=（2+a）x+a²lnx，g（x）=x²+2x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，若a＞0，試建立b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并求b的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可建立b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并求b的最小值；

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2+a+$\frac{{a}^{2}}{x}$，x＞0，
∴當(dāng)2+a≥0，即a≥-2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)2+a＜0，即a＜-2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，-$\frac{{a}^{2}}{2+a}$），
單調(diào)遞減區(qū)間是（-$\frac{{a}^{2}}{2+a}$，+∞）．
（Ⅱ）設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）的公共點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{（2+a）{x}_{0}+{a}^{2}ln{x}_{0}={{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+b}\\{2+a+\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}=2{x}_{0}+2}\end{array}\right.$消去x₀，得b=a²lna．
又b′=2a（lna+$\frac{1}{2}$），
故b=a²lna在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）上遞減，在（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）上遞增．
故b的最小值為-$\frac{1}{2e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．