Question

4．給出下列命題：①若a＜b＜0，則$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}$；②若a＞0，b＞0，則$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$≥$\frac{ab}{a+b}$；③若a＜b＜0，則a²＞ab＞b²；④lg9•lg 11＜1；⑤若a＞b，$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}$，則a＞0，b＜0；⑥正數(shù)x，y滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，則x+2y的最小值為6．其中正確命題的序號(hào)是②③④⑤．

Answer 1

分析 利用不等式的性質(zhì)與基本不等式對(duì)①②③④⑤⑥逐項(xiàng)判斷即可．

解答 解：①若a＜b＜0，則$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}$，故①錯(cuò)誤；
②若a＞0，b＞0，則$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）；
又$\sqrt{ab}$-$\frac{ab}{a+b}$=$\sqrt{ab}$（1-$\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$）≥$\sqrt{ab}$（1-$\frac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}$）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{ab}$＞0≥0，
所以$\sqrt{ab}$≥$\frac{ab}{a+b}$，綜上，$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$≥$\frac{ab}{a+b}$，故②正確；
③若a＜b＜0，則a²＞ab＞0，ab＞b²＞0，
因此，a²＞ab＞b²，故③正確；
④lg9•lg 11＜（$\frac{lg9+lg11}{2}$）²=${（\frac{lg99}{2}）}^{2}$＜${（\frac{lg100}{2}）}^{2}$=1，故④正確；
⑤若a＞b，$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}$?$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$＞0?$\frac{b-a}{ab}$＞0?$\frac{a-b}{ab}$＜0，則ab＜0，所以a＞0，b＜0，故⑤正確；
⑥正數(shù)x，y滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，則x+2y=（x+2y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=1+2+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$，故其最小值為3+2$\sqrt{2}$，故⑥錯(cuò)誤．
綜上所述，正確命題的序號(hào)是：②③④⑤，
故答案為：②③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查不等式的性質(zhì)與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．