Question

9．若直線2ax-by+2=0（a，b∈R）始終平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的周長(zhǎng)，則ab的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的性質(zhì)，得圓心在直線2ax-by+2=0上，解得b=1-a，代入式子a•b并利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可算出a•b的取值范圍．

解答 解：∵直線2ax-by+2=0（a、b∈R）始終平分x²+y²+2x-4y+1=0的周長(zhǎng)，
∴圓心（-1，2）在直線2ax-by+2=0上，可得-2a-2b+2=0
解得b=1-a
∴a•b=a（1-a）=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立
因此a•b的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{4}$]．
故答案為（-∞，$\frac{1}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線始終平分圓，求ab的取值范圍．著重考查了直線的方程、圓的性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．