Question

19．從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)該市中學(xué)生中的全體男生的平均身高；
（Ⅲ）從該市的中學(xué)生中隨機(jī)抽取一名男生，根據(jù)直方圖中的信息，估計(jì)其身高在180cm 以上的概率．若從全市中學(xué)的男生（人數(shù)眾多）中隨機(jī)抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意得：（0.005×2+a+0.020×2+0.040）×10=1．解得 a．
（Ⅱ）設(shè)樣本中男生身高的平均值為$\overline x$，可得$\overline x=145×0.05+155×0.1+165×0.2+175×0.4+185×0.2+195×0.05$．
（Ⅲ）從全市中學(xué)的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率約為$\frac{1}{4}$．由已知得，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3．X～B$（3，\frac{1}{4}）$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意得：（0.005×2+a+0.020×2+0.040）×10=1．
解得 a=0.010．                                  …（3分）
（Ⅱ）設(shè)樣本中男生身高的平均值為$\overline x$，則$\overline x=145×0.05+155×0.1+165×0.2+175×0.4+185×0.2+195×0.05$
=（145+195）×0.05+155×0.1+（165+185）×0.2+175×0.4=17+15.5+70+70=172.5．
所以估計(jì)該市中學(xué)全體男生的平均身高為172.5cm．  …（7分）
（Ⅲ）從全市中學(xué)的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率約為$\frac{1}{4}$．
由已知得，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3．X～B$（3，\frac{1}{4}）$，
所以$P（X=0）=C_3^0{（\frac{1}{4}）^0}•{（\frac{3}{4}）^3}=\frac{27}{64}$；$P（X=1）=C_3^1{（\frac{1}{4}）^1}•{（\frac{3}{4}）^2}=\frac{27}{64}$；
$P（X=2）=C_3^2{（\frac{1}{4}）^2}•{（\frac{3}{4}）^1}=\frac{9}{64}$；$P（X=3）=C_3^3{（\frac{1}{4}）^3}•{（\frac{3}{4}）^0}=\frac{1}{64}$．
隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

因?yàn)閄～B$（3，\frac{1}{4}）$，所以$EX=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)分布列及其數(shù)學(xué)期望、頻率分布直方圖的性質(zhì)、平均數(shù)的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．