Question

【題目】已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

（1）已知，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；

（2）對于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的值．

Answer 1

【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為，值域為;(2) .

【解析】

(1)設(shè)，則，由題意求出的增減性，，從而可求出的單調(diào)區(qū)間；結(jié)合單調(diào)性及區(qū)間端點處的函數(shù)值即可求出值域.

(2)由一次函數(shù)的單調(diào)性可知，結(jié)合已知條件可知，從而可求出參數(shù)的值.

(1)解：設(shè) ，則 ，因為，則.

由已知性質(zhì)可知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

所以減區(qū)間為，增區(qū)間為.

當，即時，，又，

所以，所以值域為.

(2)因為為減函數(shù)，所以當時，.

因為對任意，總存在，使得成立，

所以值域是值域的子集，即，則，

解得且，即.