Question

12．已知橢圓C經(jīng)過點（-1，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）和（2，$\frac{\sqrt{5}}{3}$），求
（1）橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C的上頂點B作兩條互相垂直的直線分別與橢圓C相交于點P、Q，試問直線PQ是否經(jīng)過定點，若經(jīng)過定點請求出定點并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將兩點坐標代入橢圓的標準方程解方程組得出a，b；
（2）設(shè)兩條直線方程分別為y=kx+1，y=-$\frac{1}{k}$x+1，分別與橢圓方程聯(lián)立解出P，Q坐標得出直線PQ的方程，即可得出定點坐標．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0且a≠b）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{8}{9^{2}}=1}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{5}{9^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=9，b²=1．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$．
（2）橢圓的上頂點為B（0，1），
由題意可知直線BP的斜率存在且不為0．
設(shè)直線BP的方程為y=kx+1，則直線BQ的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+9k²）x²+18kx=0，
∴P（-$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$，$\frac{1-9{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$），
同理可得Q（$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$，$\frac{{k}^{2}-9}{9+{k}^{2}}$）．
∴直線PQ的斜率k_PQ=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$，
∴PQ的直線方程為y-$\frac{{k}^{2}-9}{{k}^{2}+9}$=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$（x-$\frac{18k}{9+{k}^{2}}$），即y=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$x-$\frac{4}{5}$．
∴直線PQ過定點（0，-$\frac{4}{5}$）．

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．