Question

20．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下四個式子的值都等于同一個常數(shù)：
（1）cos（-60°）+cos60°+cos180°；     
（2）cos（-27°）+cos107°+cos227°；
（3）cos30°+cos150°+cos270°；     
 （4）cos40°+cos160°+cos280°．
（Ⅰ）試從上述四個式子中選擇一個式子，進(jìn)行化簡求值；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，請你寫出一個以題設(shè)的四個式子為特例的一般性命題，并給出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）選擇（1）式計算，可得cos（-60°）+cos60°+cos180°=0；
（Ⅱ）一般性的命題為cos（α-120°）+cosα+cos（α+120°）=0，
利用兩角和與差的余弦值公式化簡，即可證明命題成立．

解答 解：（Ⅰ）選擇（1）式計算，可得
cos（-60°）+cos60°+cos180°=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-1=0；…（4分）
（Ⅱ）一般性的命題為cos（α-120°）+cosα+cos（α+120°）=0；…（6分）
證明：左邊=cos（α-120°）+cosα+cos（α+120°）
=cosαcos120°+sinαsin120°+cosα+cosαcos120°-sinαsin120°…（10分）
=-$\frac{1}{2}$cosα+cosα-$\frac{1}{2}$cosα
=0=右邊．…（12分）
所以命題成立．

點評 本題考查了簡單推理的應(yīng)用問題，也考查了兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．