Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx在（0，1）內(nèi)存在極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，2）
• B． （1，2）
• C． （1，+∞）
• D． （1，2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 求出f′（x）=0的解，討論兩解的大小關(guān)系得出f（x）的單調(diào)性，從而求出f（x）的極小值點(diǎn)，列出不等式得出a的范圍．

解答 解：f′（x）=2ax-a-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$（x＞0）．
令g（x）=2ax²-（a+2）x+1，
△=（a+2）²-8a=（a-2）²，
令g（x）=0得x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{1}{a}$，
（1）若a＜0，則$\frac{1}{a}$$＜\frac{1}{2}$，∴x$＞\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）＜0，當(dāng)0＜x$＜\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）無(wú)極小值，不符合題意；
（2）若a＞0，
①當(dāng)$\frac{1}{2}$$＜\frac{1}{a}$即a＜2時(shí)，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{a}$時(shí)f（x）取得極小值，∴$\frac{1}{a}$＜1，解得1＜a＜2，
②當(dāng)$\frac{1}{2}＞\frac{1}{a}$即a＞2時(shí)，
f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)f（x）取得極小值，符合題意．
綜上，a的取值范圍是（1，2）∪（2，+∞）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題．