Question

5．關(guān)于平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，下列結(jié)論正確的個數(shù)為（　�。�
①若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$；
②若$\overrightarrow{a}$=（1，k），$\overrightarrow$=（-2，6），$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，則k=-3；
③非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為30°；
④已知向量$\overrightarrow a=（1，2），\overrightarrow b=（1，1）$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$λ＞-\frac{5}{3}$．

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 運(yùn)用向量數(shù)量積的性質(zhì)，即可判斷①；由向量共線的坐標(biāo)表示，解方程即可判斷②；
運(yùn)用向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，結(jié)合夾角公式計(jì)算即可判斷③；
由向量的夾角為銳角的等價條件為數(shù)量積大于0，且兩向量不共線，計(jì)算即可判斷④．

解答 解：對于①，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，不一定有$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$，可能$\overrightarrow{a}$，（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）垂直，故不正確；
對于②，若$\overrightarrow{a}$=（1，k），$\overrightarrow$=（-2，6），$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，即有-2k=6，則k=-3，故正確；
對于③，非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則|$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，
$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，
$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角的余弦值為$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由夾角的范圍[0°，180°），可得夾角為30°，故正確；
對于④，已知向量$\overrightarrow a=（1，2），\overrightarrow b=（1，1）$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$的夾角為銳角，
可得$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$）＞0，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$不共線，即有1+λ+2（2+λ）＞0，且2（1+λ）≠2+λ，
解得λ＞-$\frac{5}{3}$且λ≠0，故不正確．
其中正確的個數(shù)為2．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，考查向量數(shù)量積的夾角公式和向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．