Question

4．已知$\overrightarrow a=（x-1，2），\overrightarrow b=（4，-x）$，當(dāng)$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$時(shí)，
（1）求此時(shí)$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角正弦值；
（2）求向量$t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b$模長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）$cos\left?{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right＞=\frac{（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）}{{|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|•|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|}}=-\frac{3}{5}$，$sin\left?{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right＞=\frac{4}{5}$．
（2）$|{t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b}|=\sqrt{{{（4-3t）}^2}+{{（4t-2）}^2}}=\sqrt{25{t^2}-40t+20}=\sqrt{25{{（t-\frac{4}{5}）}^2}+4}$，
當(dāng)$t=\frac{4}{5}$時(shí)，$|{t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b}|$取最小值．

解答 解：依題意，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=4（x-1）-2x=0⇒x=2$，∴$\overrightarrow a=（1，2），\overrightarrow b=（4，-2）$．
（1）$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（5，0），\overrightarrow a-\overrightarrow b=（-3，4）$，
∴$cos\left?{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right＞=\frac{（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）}{{|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|•|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|}}=-\frac{3}{5}$，
∴$\left?{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right＞$為鈍角，∴$sin\left?{\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right＞=\frac{4}{5}$．
（2）$t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b=（4-3t，4t-2）$，
∴$|{t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b}|=\sqrt{{{（4-3t）}^2}+{{（4t-2）}^2}}=\sqrt{25{t^2}-40t+20}=\sqrt{25{{（t-\frac{4}{5}）}^2}+4}$，
∴當(dāng)$t=\frac{4}{5}$時(shí)，$|{t\overrightarrow a+（1-t）\overrightarrow b}|$取最小值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、模的運(yùn)算，屬于中檔題．