分析 (Ⅰ)由題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f(x)的解析式,再利用三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性求得函數(shù)g(x)的解析式.
(Ⅱ)利用余弦函數(shù)的定義域和值域,求得t=g(x)∈[1,2].由題意可得,即t2-mt+2=0能成立,即m=t+$\frac{2}{t}$,t∈[1,2].再利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性,求得實(shí)數(shù)m的最大值和最小值.
解答 解:(Ⅰ)∵f(x)=2$\sqrt{3}$sin($\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$)•sin($\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$)-sin(π+x)
=2$\sqrt{3}$sin($\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$)•cos($\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$)+sinx
=$\sqrt{3}$sin($\frac{π}{2}$+x)+sinx=$\sqrt{3}$cosx+sinx=2sin(x+$\frac{π}{3}$),
∵函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱,
∴g(x)=f($\frac{π}{2}$-x)=2sin($\frac{π}{2}$-x+$\frac{π}{3}$)=2sin($\frac{5π}{6}$-x)=2cos($\frac{π}{3}$-x)=2cos(x-$\frac{π}{3}$).
(Ⅱ)由x∈[0,$\frac{π}{2}$),可得x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{6}$),∴cos(x-$\frac{π}{3}$)∈[$\frac{1}{2}$,1],∴t=g(x)∈[1,2].
若存在x∈[0,$\frac{π}{2}$),使等式[g(x)]2-mg(x)+2=0成立,即t2-mt+2=0能成立,
即m=t+$\frac{2}{t}$,t∈[1,2].
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得,函數(shù)m在[1,$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞減,在($\sqrt{2}$,2]上單調(diào)遞增,
當(dāng)t=1時(shí),m=3;t=$\sqrt{2}$時(shí),m=2$\sqrt{2}$,t=2時(shí),m=3,
故實(shí)數(shù)m的最大值為3,最小值為2$\sqrt{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性,余弦函數(shù)的定義域和值域,函數(shù)的能成立問題,對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.
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A. | a<b<c | B. | b<a<c | C. | c<a<b | D. | c<b<a |
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質(zhì)量指標(biāo) 值分組 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125] |
頻數(shù) | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
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