Question

6．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+b（a•b≠0）的圖象在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程為x+y+3=0．求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由切線的方程可得a，b的方程組，解方程即可得到所求f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+b（a•b≠0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
由f（x）的圖象在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程為x+y+3=0，
可得切線的斜率為1-a=-1，f（-1）=-1-a+b=-2，
解得a=2，b=1，
則f（x）=x+$\frac{2}{x}$+1；
（2）f（x）=x+$\frac{2}{x}$+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$；
由f′（x）＜0，可得-$\sqrt{2}$＜x＜0或0＜x＜$\sqrt{2}$；
可得f（x）的增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）；減區(qū)間為（-$\sqrt{2}$，0），（0，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查方程思想和不等式的解法，屬于中檔題．