20．已知四面體ABCD的底面BCD是邊長為2的等邊三角形，AB=AC=3，則當棱AD長為$\sqrt{11}$時，四面體ABCD的體積最大．

分析 當體積最大時，平面ABC與底面BCD垂足，利用勾股定理計算AD．

解答 解：取BC的中點E，連結(jié)AE，DE，
∵AB=AC，BD=CD，
∴BC⊥AE，BC⊥DE，
∴∠AED為二面角A-BC-D的平面角，
∴A到平面BCD的距離d=AE•sin∠AED，
顯然當∠AED=90°時，四面體體積最大．
此時，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{11}$．
故答案為：$\sqrt{11}$．

點評 本題考查了空間點到平面的距離計算，棱錐的體積計算，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

10．平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），則|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=（　�。�
A．$\sqrt{3}$B．2$\sqrt{3}$C．4D．12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．已知橢圓D：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸端點與焦點分別為雙曲線E的焦點與實軸端點，若橢圓D與雙曲線E的一個交點在直線y=2x上，則橢圓D的離心率為（　�。�
A．$\sqrt{2}$-1B．$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$C．$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$D．$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

8．若x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y-5≤0\\ y≥x+1\\ x≥0\end{array}\right.$，則目標函數(shù)z=2x+y-1的最大值是6．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

15．已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，則A∩（∁UB）={2，3，4}．

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5．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），若f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$）=-f（$\frac{π}{6}$），且f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)，則f（x）的最小正周期是（　�。�
A．$\frac{π}{6}$B．$\frac{π}{3}$C．$\frac{π}{2}$D．π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

12．點P在拋物線x2=4y上，F(xiàn)為拋物線焦點，|PF|=5，以P為圓心|PF|為半徑的圓交x軸于A，B兩點，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=（　　）
A．9B．12C．18D．32

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

9．已知函數(shù)$f（x）=xlnx-\frac{a}{2}{x^2}（{a∈R}）$．
（1）當a=1時，求函數(shù)在點（1，-$\frac{1}{2}$）處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-x有兩個極值點x1，x2，求a的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，求證：$\frac{1}{ln{x}_{1}}$+$\frac{1}{ln{x}_{2}}$＞2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

10．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中$A＞0，ω＞0，0＜Φ＜\frac{π}{2}$）的圖象與x軸的交點中，相鄰的兩個交點之間的距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上的一個最低點為$M（\frac{2π}{3}，-2）$，則f（x）的解析式為（　　）
A．$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$B．$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{6}）$C．$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$D．$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）$

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