Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)。

（1）求的取值范圍；

（2）求證：。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：第一問利用題中的條件函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，相當(dāng)于導(dǎo)數(shù)等于零有兩個(gè)解，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再求二階導(dǎo)，對(duì)函數(shù)圖像的走向加以分析，最后求得結(jié)果，第二問構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，研究函數(shù)的圖像，找出其對(duì)應(yīng)的最值，最后求得結(jié)果.

詳解：（1），設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以，所以 ，此時(shí)，

，

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>時(shí)，；時(shí)，；

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，即，

所以，即，

綜上可得的取值范圍是。

（2）由（1）知是方程的兩根，所以，

且時(shí)，，所以是上的減函數(shù)，

所以

，

因?yàn)?/span>，所以，即

所以