Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{ex-2{e^x}}}{{{e^{x+1}}}}$，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，4]上的最小值；
（Ⅱ）證明：對任意m，n∈（0，+∞），都有g（m）≥f（n）成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出g（x）在[2，4]上的最小值即可；
（Ⅱ）求出g（m）的最小值，根據(jù)函數(shù)的單調性求出f（x）的最大值，從而證出結論即可．

解答 （Ⅰ）解：由g（x）=xlnx，可得g'（x）=lnx+1．
當$x∈（0，\frac{1}{e}）$，g'（x）＜0，g（x）單調遞減；
當$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$，g'（x）＞0，g（x）單調遞增．
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，4]上單調遞增，
又g（2）=2ln2，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的最小值為2ln2．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知g（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在$x=\frac{1}{e}$時取得最小值，
又$g（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$，可知$g（m）≥-\frac{1}{e}$．
由$f（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，可得$f'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
所以當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．
所以函數(shù)f（x）（x＞0）在x=1時取得最大值，
又$f（1）=-\frac{1}{e}$，可知$f（n）≤-\frac{1}{e}$，
所以對任意m，n∈（0，+∞），都有g（m）≥f（n）成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．