【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0），直線y=x+ 與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸為半徑的圓相切，F(xiàn)1 ， F2為其左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上的任意一點(diǎn)，△F1PF2的重心為G，內(nèi)心為I，且IG∥F1F2 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A為橢圓C上的左頂點(diǎn)，直線∫過右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若AM，AN的斜率k1 ， k2滿足k1+
k2=﹣ ，求直線MN的方程．

【答案】
（1）解：設(shè)P（x0，y0），I（x1，y1），則G（ ）．

又IG∥F1F2， ，|F1F2|=2c，

∴ = |F1F2||y0|= ．

∴2c= ，故a=2c．

又直線y=x+ 與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸為半徑的圓相切，

∴b= = ，

∴a=2，c=1．∴ ．


（2）解：若直線l斜率不存在，顯然k1+k2=0不合題意；

則直線l的斜率存在．

設(shè)直線l為y=k（x﹣1），直線l和橢圓交于M（x1，y1），N（x2，y2）．

將y=k（x﹣1）代入3x2+4y2=12中，得：

（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

依題意：△=9k2+9＞0，

由韋達(dá)定理知： ，

又kAM+kAN= =k（ ）

=k[2﹣3（ ）]，

=

=

= ，

從而kAM+kAN=k（2﹣3 ）=﹣ ，

解得k=2，符合△＞0．

故所求直線MN的方程為：y=2（x﹣1）


【解析】（1）設(shè)P（x0 ， y0），I（x1 ， y1），則G（ ），由已知條件推導(dǎo)出a=2c，b= = 由此能求出橢圓方程．（2）設(shè)直線l為y=k（x﹣1），直線l和橢圓交于M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．將y=k（x﹣1）代入3x2+4y2=12中，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韋達(dá)定理能求出直線MN的方程．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】解答題
（1）（1）已知命題p：|x2﹣x|≥6，q：x∈Z且“p且q”與“非q”同時(shí)為假命題，求x的值．
（2）已知p：x2﹣8x﹣20≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在邊長為4的菱形中, ，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)， ，沿將翻折到，連接，得到如圖的五棱錐，且

（1）求證： 平面（2）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形， 底面， ，點(diǎn)， 分別為棱， 的中點(diǎn)。

（1）求證： 平面；

（2）求證：平面平面

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=xex ， g（x）=﹣（x+1）2+a，若x1 ， x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)訄AQ過定點(diǎn)F（0，﹣1），且與直線y=1相切；橢圓N的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，F(xiàn)是其一個(gè)焦點(diǎn)，又點(diǎn)（0，2）在橢圓N上．
（1）求動(dòng)圓圓心Q的軌跡M的方程和橢圓N的方程；
（2）過點(diǎn)（0，﹣4）作直線l交軌跡M于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)OA，OB，射線OA，OB交橢圓N于C，D兩點(diǎn)，求△OCD面積的最小值．
（3）附加題：過橢圓N上一動(dòng)點(diǎn)P作圓x2+（y﹣1）2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為G，H，求 的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知F1 ， F2分別為雙曲線 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，如果雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得F2關(guān)于直線PF1的對(duì)稱點(diǎn)恰在y軸上，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（ ）
A.e＞
B.1＜e＜
C.e＞
D.1＜e＜

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖），雙曲線C1： ﹣ =1過點(diǎn)P且離心率為 ．

（1）求C1的方程；
（2）若橢圓C2過點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn)，直線l過C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A，B兩點(diǎn)，若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P，求l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)， 的值；

(Ⅱ)若， ， ， ，試判斷， ， 三者是否有確定的大小關(guān)系，并說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案