Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A（2，4）．
（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)N（6，n），則圓N為：（x-6）²+（y-n）²=n²，n＞0，從而得到|7-n|=|n|+5，由此能求出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題意得OA=2$\sqrt{5}$，k_OA=2，設(shè)l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：d=$\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$，由此能求出直線l的方程．
（3）$\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，即|$\overrightarrow{TA}$|=$\sqrt{（t-2）^{2}+{4}^{2}}$，又|$\overrightarrow{PQ}$|≤10，得t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]，對(duì)于任意t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]，欲使$\overrightarrow{TA}=\overrightarrow{PQ}$，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為$\sqrt{25-\frac{|TA{|}^{2}}{4}}$，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）∵N在直線x=6上，∴設(shè)N（6，n），
∵圓N與x軸相切，∴圓N為：（x-6）²+（y-n）²=n²，n＞0，
又圓N與圓M外切，圓M：x²+y²-12x-14y+60=0，即圓M：（x-6）²+（x-7）²=25，
∴|7-n|=|n|+5，解得n=1，
∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-6）²+（y-1）²=1．
（2）由題意得OA=2$\sqrt{5}$，k_OA=2，設(shè)l：y=2x+b，
則圓心M到直線l的距離：d=$\frac{|12-7+b|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$，
則|BC|=2$\sqrt{{5}^{2}-gdexyb4^{2}}$=2$\sqrt{25-\frac{（5+b）^{2}}{5}}$，BC=2$\sqrt{5}$，即2$\sqrt{25-\frac{（5+b）^{2}}{5}}$=2$\sqrt{5}$，
解得b=5或b=-15，
∴直線l的方程為：y=2x+5或y=2x-15．
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵A（2，4），T（t，0），$\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={x}_{1}+2-t}\\{{y}_{2}={y}_{1}+4}\end{array}\right.$，①
∵點(diǎn)Q在圓M上，∴（x₂-6）²+（y₂-7）²=25，②
將①代入②，得（x₁-t-4）²+（y₁-3）²=25，
∴點(diǎn)P（x₁，y₁）即在圓M上，又在圓[x-（t+4）]²+（y-3）²=25上，
從而圓（x-6）²+（y-7）²=25與圓[x-（t+4）]²+（y-3）²=25有公共點(diǎn)，
∴5-5≤$\sqrt{[（t+4）-6]^{2}+（3-7）^{2}}$≤5+5．
解得2-2$\sqrt{21}$≤t$≤2+2\sqrt{21}$，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．