Question

（本小題滿分12分）
如圖3，在正三棱柱中，AB=4，,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
點(diǎn)E在AC上，且DEE。

（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）求直線AD和平面所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明見(jiàn)解析。
（Ⅱ）

（Ⅰ）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面.
又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,
所以DE⊥平面.又DE平面，
故平面⊥平面.
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于點(diǎn),
連接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，
所以AF平面,故是直線AD和
平面所成的角。因?yàn)?i>DE，
所以DEAC.而ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，
于是AD=，AE=4-CE=4-=3.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133728397318.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以E= = 4,
 , .
即直線AD和平面所成角的正弦值為。