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8.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形,E是CD的中點(diǎn),D1E⊥CD,AB=2BC=2.
(1)求證:BC⊥D1E;
(2)若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為\frac{π}{3},求線段D1E的長度.

分析 (1)由已知底面ABCD和側(cè)面BCC1B1是矩形,可得BC⊥CD,BC⊥CC1,由線面垂直的判定可得BC⊥平面DCC1D1,進(jìn)一步得到BC⊥D1E;
(2)由(1)可知BC⊥D1E,結(jié)合D1E⊥CD,可得D1E⊥平面ABCD.設(shè)G為AB的中點(diǎn),以E為原點(diǎn),EG,EC,ED1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面BED1的一個(gè)法向量與平面BCC1B1的一個(gè)法向量,由平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為\frac{π}{3}列式求得a值,則線段D1E的長度可求.

解答 (1)證明:∵底面ABCD和側(cè)面BCC1B1是矩形,∴BC⊥CD,BC⊥CC1,
又∵CD∩CC1=C,∴BC⊥平面DCC1D1,
∵D1E?平面DCC1D1,∴BC⊥D1E;
(2)解:由(1)可知BC⊥D1E,
又∵D1E⊥CD,且BC∩CD=C,
∴D1E⊥平面ABCD.
設(shè)G為AB的中點(diǎn),以E為原點(diǎn),EG,EC,ED1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.
則E(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),G(1,0,0).
設(shè)D1E=a,則D1(0,0,a),B1(1,2,a).
設(shè)平面BED1的一個(gè)法向量為\overrightarrow{n}=(x,y,z),
\overrightarrow{EB}=(1,1,0),\overrightarrow{E{D}_{1}}=(0,0,a),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{D}_{1}}=az=0}\end{array}\right.,令x=1,得\overrightarrow{n}=(1,-1,0);
設(shè)平面BCC1B1的一個(gè)法向量為\overrightarrow{m}=(x1,y1,z1),
\overrightarrow{CB}=(1,0,0),\overrightarrow{B{C}_{1}}=(-1,1,a),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}={x}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-{x}_{1}+{y}_{1}+a{z}_{1}=0}\end{array}\right.,令z1=1,得\overrightarrow{m}=(0,-a,1).
由平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為\frac{π}{3},
得|cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>|=|\frac{a}{\sqrt{2}•\sqrt{{a}^{2}+1}}=|cos\frac{π}{3}=\frac{1}{2},解得a=1.
∴D1E=1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系,考查空間想象能力和思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角,是中檔題.

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