Question

3．某養(yǎng)殖場(chǎng)需定期購買飼料，已知該場(chǎng)每天需要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元．
（Ⅰ）求該養(yǎng)殖場(chǎng)多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少；
（Ⅱ）若提供飼料的公司規(guī)定，當(dāng)一次購買飼料不少于5噸時(shí)，其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠（即為原價(jià)的85%）．問：為使該養(yǎng)殖場(chǎng)平均每天支付的總費(fèi)用最少，該場(chǎng)是否應(yīng)考慮利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）我們?cè)O(shè)該廠每x（x∈N₊）天購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y₁元，由已知中該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管費(fèi)為平均每公斤每天0.03元（當(dāng)天用掉的飼料不計(jì)保管費(fèi)用），購買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元．我們求出y₁的解析式，然后利用基本不等式，即可求出y₁取最小值時(shí)的n值；
（Ⅱ）若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少25天購買一次飼料，設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件，每隔n天（n≥25）購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y₂元，我們計(jì)算y₂的解析式，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求出y₂的最小值，與（Ⅰ）中所得y₁的最小值比較后，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)該場(chǎng)每x（x∈N₊）天購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y₁元．
因?yàn)轱暳系谋９苜M(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少200×0.03=6（元），
所以x天飼料的保管費(fèi)用共是6（x-1）+6（x-2）+…+6=3x²-3x（元）．               …（2分）
從而有${y_1}=\frac{1}{x}（3{x^2}-3x+300）+200×1.8=\frac{300}{x}+3x+357$．…（3分）
因?yàn)?{y_1}=\frac{300}{x}+3x+357≥417$，…（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{300}{x}$=3x，即x=10時(shí)，y₁有最小值．
故該養(yǎng)殖場(chǎng)每10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少．   …（5分）
（Ⅱ） 設(shè)該場(chǎng)利用此優(yōu)惠條件，每隔x天購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y₂，
則${y_2}=\frac{1}{x}（3{x^2}-3x+300）+200×1.8×0.85=\frac{300}{x}+3x+303$．          …（6分）
因一次購買飼料5噸，夠用天數(shù)為25，所以x≥25．                   …（8分）
令f（x）=$\frac{300}{x}$+3x（x≥25）．
因?yàn)?f'（x）=-\frac{300}{x^2}+3=\frac{3（x-10）（x+10）}{x^2}$，…（9分）
所以當(dāng)x≥25時(shí)，y₂′＞0，即函數(shù)y₂在[25，+∞）上是增函數(shù)…（10分）
∴當(dāng)x=25時(shí)，y₂取得最小值390
∵390＜417，故該廠應(yīng)該利用此優(yōu)惠條件．             …（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)關(guān)系的能力，以及導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用．屬于中檔題．