Question

6．如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：
（1）PA∥平面BDE
 （2）PC⊥BD．

Answer 1

分析 （1）連接OE，OE∥PA，由直線與平面平行的判定定理，可證得PA∥平面BDE；
（2）由PO⊥底面ABCD，可得PO⊥BD；底面為正方形，可得BD⊥AC，由直線和平面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAC，可證得PC⊥BD．

解答 證明：（1）如圖，連接OE，
∵O為AC中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn)．
∴OE為△PAC的中位線，
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）∵底面ABCD為正方形，
∴BD⊥AC，
∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵PO?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴PC⊥BD．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與平面平行的判定定理、直線和平面垂直的性質(zhì)、直線和平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，屬于中檔題．