Question

16．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}$+bx+c有極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），且f（x₁）=x₁，則關(guān)于x的方程[f（x）]²+2af（x）+b=0的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}$+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，f′（x）=x²+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，△=4a²-4b＞0．而方程（f（x））²+2af（x）+b=0的△₁=△＞0，可知此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂．再分別討論利用平移變換即可解出方程f（x）=x₁或f（x）=x₂解得個(gè)數(shù)．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}$+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴f′（x）=x²+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4a²-4b＞0．
而方程（f（x））²+2af（x）+b=0的△₁=△＞0，
∴此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂，
不妨取0＜x₁＜x₂，f（x₁）＞0．
①把y=f（x）向下平移x₁個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）-x₁的圖象，
∵f（x₁）=x₁，可知方程f（x）=x₁有兩解．
②把y=f（x）向下平移x₂個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）-x₂的圖象，∵f（x₁）=x₁，∴f（x₁）-x₂＜0，可知方程f（x）=x₂只有一解．
綜上①②可知：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂．只有3個(gè)實(shí)數(shù)解．即關(guān)于x的方程3（f（x））²+af（x）+b=0的只有3不同實(shí)根．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．