Question

1．已知圓${（x-1）^2}+{y^2}=\frac{3}{4}$的一條切線y=kx與雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$沒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $（1，\sqrt{3}）$
• B． （1，2]
• C． $（\sqrt{3}，+∞）$
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 先求出切線的斜率，再利用圓${（x-1）^2}+{y^2}=\frac{3}{4}$的一條切線y=kx與雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$沒有公共點(diǎn)，得到$\frac{a}≤\sqrt{3}$，1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}≤4$，即可求出雙曲線C的離心率的取值范圍．

解答 解：由題意，圓心到直線的距離d=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴k=±$\sqrt{3}$．
圓${（x-1）^2}+{y^2}=\frac{3}{4}$的一條切線y=kx與雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$沒有公共點(diǎn)，
∴$\frac{a}≤\sqrt{3}$，1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}≤4$，∴雙曲線C的離心率的取值范圍是（1，2]
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．