Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，a∈R．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）≤$\frac{1}{2}$x-1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若g（x）在[1，e²]上存在極值，求a的取值范圍，并判斷極值的正負(fù)．

Answer 1

分析 （1）由題意可知a≤-xlnx-$\frac{1}{2}$x²在[1，+∞）上恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及極值的判斷，即可求得m（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，即可求得a的取值范圍；
（2）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，x∈[1，e²]，若g（x）在[1，e²]上存在極值，則$\left\{\begin{array}{l}{h（e）＞0}\\{h（1）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（{e}^{2}）＜0}\end{array}\right.$，分類討論，分別構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）≤$\frac{1}{2}$x-1，即lnx+$\frac{a}{x}$-1≤$\frac{1}{2}$x-1，
即a≤-xlnx-$\frac{1}{2}$x²在[1，+∞）上恒成立，
設(shè)函數(shù)m（x）=-xlnx-$\frac{1}{2}$x²，x≥1，
m′（x）=-lnx+x-1，設(shè)n（x）=-lnx+x-1，
n′（x）=-$\frac{1}{x}$+1，由x≥1時(shí)，n′（x）≥0，
∴n（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，且n（x）≥n（1）=0，
即m′（x）≥m′（1）=0，對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴m（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，m（x）≥m（x）_min=m（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
∴a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（2）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，x∈[1，e²]，
求導(dǎo)g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2a}{{x}^{3}}$=$\frac{2x-xlnx-2a}{{x}^{3}}$，
設(shè)h（x）=2x-xlnx-2a，h′（x）=2-（1+lnx）=1-lnx，
由h′（x）=0，解得：x=e，
當(dāng)1≤x＜e時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)e＜x≤e²，h′（x）＜0，
且h（1）=2-2a，h（e）=e-2a，h（e²）=-2a，
顯然h（1）＞h（e²），
若g（x）在[1，e²]上存在極值，
則$\left\{\begin{array}{l}{h（e）＞0}\\{h（1）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（{e}^{2}）＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{h（e）＞0}\\{h（1）＜0}\end{array}\right.$，即1＜a＜$\frac{e}{2}$時(shí)，
則必定存在x₁，x₂∈[1，e²]，使得h（x₁）=h（x₂）=0，且1＜x₁＜x₁＜e²，
當(dāng)x變化時(shí)，h（x），g′（x），g（x）的變化如表，

x	（1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x1，e2）
h（x）	-	0	+	0	-
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↓	極小值	↓	極小值	↓

當(dāng)1＜a＜$\frac{e}{2}$時(shí)，g（x）在[1，e²]上的極值為g（x₁），g（x₂），且g（x₁）＜g（x₂），
由g（x₁）=$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{a}{{x}_{1}^{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}ln{x}_{1}-{x}_{1}+a}{{x}_{1}^{2}}$，
設(shè)φ（x）=xlnx-x+a，其中1＜a＜$\frac{e}{2}$，1≤x＜e，
則φ′（x）=lnx＞0，
∴φ（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，φ（x）=φ（1）=a-1＞0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取等號(hào)；
∵1＜x₁＜e，g（x₁）＞0，
當(dāng)1＜a＜$\frac{e}{2}$，g（x）在[1，e²]上的極值g（x₂）＞g（x₁）＞0，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（{e}^{2}）＜0}\end{array}\right.$，即0＜a≤1時(shí)，
則必定存在x₃∈（1，e²），使得h（x₃）=0，
易知g（x）在（1，x₃）上單調(diào)遞增，在（x₃，e²]上單調(diào)遞減，
此時(shí)，g（x）在[1，e²]上的極大值時(shí)g（x₃），即g（x₃）＞g（e²）=$\frac{a+{e}^{2}}{{e}^{4}}$＞0，
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，g（x）在[1，e²]上存在極值，且極值都為正數(shù)，
綜上可知：當(dāng)0＜a＜$\frac{e}{2}$時(shí)，g（x）在[1，e²]上存在極值，且極值都為正數(shù)，

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查分類討論思想，屬于難題．