Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{ln（{ax}）+2}}$（a≠0）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（${\frac{1}{2}$，f（${\frac{1}{2}}$））處的切線方程；
（2）當x∈[2，4]時，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（${\frac{1}{2}}$），f（${\frac{1}{2}}$），代入切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=$\frac{x}{2+ln2x}$，f′（x）=$\frac{1+ln2x}{{（2+ln2x）}^{2}}$，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
故切線方程為：2x-8y+1=0．
（2）顯然當x∈[2，4]時，$a＞0，f'（x）=\frac{lnax+1}{{{{（{lnax+2}）}^2}}}$，
令f'（x）＞0，解得$x＞\frac{1}{ae}$，即當$x∈（{0，\frac{1}{ae}}）$時，f'（x）＜0；
x∈（$\frac{1}{ae}$，+∞）時，f'（x）＞0，
若$a≥\frac{1}{2e}$，則$\frac{1}{ae}≤2，f（x）$在[2，4]上單調遞增，
其最小值為$f（2）=\frac{2}{ln2a+2}$，最大值為$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，
若$\frac{1}{4e}＜a＜\frac{1}{2e}，f（x）$的最小值為$f（{\frac{1}{ae}}）=\frac{1}{ae}$，
$f（2）-f（4）=\frac{2}{ln2a+2}-\frac{4}{ln4a+2}=\frac{{-2（{3lna+2}）}}{{（{ln2a+2}）（{ln4a+2}）}}，（{ln2a+2}）（{ln4a+2}）＞0$，3lna+2＞0，
∴f（2）-f（4）＜0，f（2）＜f（4），最大值為$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，
若$a≤\frac{1}{4e}，f（x）$的最小值為$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，最大值為$f（2）=\frac{2}{ln2a+2}$．
綜上所述，當$a≥\frac{1}{4e}$時，函數(shù)f（x）的最小值為$f（2）=\frac{2}{ln2a+2}$，最大值為$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，
當$\frac{1}{4e}＜a＜\frac{1}{2e}$時，函數(shù)f（x）的最小值為$f（{\frac{1}{ae}}）=\frac{1}{ae}$，最大值為$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，
當$a≤\frac{1}{4e}$時，函數(shù)f（x）的最小值為$f（4）=\frac{4}{ln4a+2}$，最大值為$f（2）=\frac{2}{ln2a+2}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)的單調性、最值問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．