Question

8．已知P為圓C：（x-2）²+（y-2）²=1上任一點，Q為直線l：x+y=1上任一點，則$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$的最小值為$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$．

Answer 1

分析 先判斷直線直線l：x+y=1和圓C相離，設(shè)出P、Q的坐標，求得 $\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$ 的坐標，可得 $|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$的解析式，利用 $|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$ 的幾何意義以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．

解答 解：圓心C（2，2）到直線l：x+y=1的距離為d=$\frac{|2+2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$＞1，故直線直線l：x+y=1和圓C相離．
∵P為圓C：（x-2）²+（y-2）²=1上任一點，設(shè)P的坐標為（x，y），
∵Q為直線l：x+y=1上任一點，∴可設(shè)Q的坐標為（a，1-a），
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$=（x+a，y+1-a），∴$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$=$\sqrt{{（x+a）}^{2}{+（y+1-a）}^{2}}$，
表示點（-a，a-1）到圓C：（x-2）²+（y-2）²=1上的點的距離．
設(shè)點（-a，a-1）到圓心C（2，2）的距離為d，則$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$的最小值為d-1．
∵d=$\sqrt{{（-a-2）}^{2}{+（a-1-2）}^{2}}$=$\sqrt{{2a}^{2}-2a+13}$=$\sqrt{{2（a-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{25}{2}}$，
故當a=$\frac{1}{2}$時，d最小為$\sqrt{\frac{25}{2}}$，故$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$的最小值為d-1=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1=$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$，
故答案為：$\frac{{5\sqrt{2}-2}}{2}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，求向量的模，兩點間的距離公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．