Question

8．已知f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x-2
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，c的值；
（Ⅱ）求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），求出c，求出導(dǎo)函數(shù)，求出斜率，求出切點(diǎn)，然后求解即可．
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求解不等式得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），
則c=1，f′（x）=4ax³+2bx，k=f′（1）=4a+2b=1，
切點(diǎn)為（1，-1），則f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-1）
得$a+b+c=-1，得a=\frac{5}{2}，b=-\frac{9}{2}$，c=1．…（7分）
（Ⅱ）$f（x）=\frac{5}{2}{x^4}-\frac{9}{2}{x^2}+1$，${f^'}（x）=10{x^3}-9x＞0，\;\;⇒-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}＜x＜0，或x＞\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
單調(diào)遞增區(qū)間為$（-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，0）$和$（\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，+∞）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及單調(diào)區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．