Question

2．某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3000元，2000元．甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設備上加工，在每臺A、B設備上加工一件甲所需工時分別為1h，2h，加工一件乙設備所需工時分別為2h，1h．A、B兩種設備每月有效使用臺時數(shù)分別為400h和500h，分別用x，y表示計劃每月生產(chǎn)甲，乙產(chǎn)品的件數(shù)．
（Ⅰ）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；
（Ⅱ）問分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設甲、乙兩種產(chǎn)品月產(chǎn)量分別為x、y件，寫出約束條件，畫出圖象即可，
（Ⅱ）設出目標函數(shù)，欲求生產(chǎn)收入最大值，即求可行域中的最優(yōu)解，將目標函數(shù)看成是一條直線，分析目標函數(shù)Z與直線截距的關系，進而求出最優(yōu)解．

解答 解：（Ⅰ）設甲、乙兩種產(chǎn)品月的產(chǎn)量分別為x，y件，
約束條件是$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤500}\\{x+2y≤400}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，由約束條件畫出可行域，如圖所示的陰影部分
（Ⅱ）設每月收入為z千元，目標函數(shù)是z=3x+2y
由z=3x+2y可得y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$z，截距最大時z最大．
結合圖象可知，z=3x+2y在A處取得最大值
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=500}\\{x+2y=400}\end{array}\right.$ 可得A（200，100），此時z=800
故安排生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品月的產(chǎn)量分別為200，100件可使月收入最大，最大為80萬元．

點評 在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件②由約束條件畫出可行域③分析目標函數(shù)Z與直線截距之間的關系④使用平移直線法求出最優(yōu)解⑤還原到現(xiàn)實問題中．