Question

6．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，以M（1，0）為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$-1=0相切．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知點，N（3，2），和面內一點P（m，n）（m≠3），過點M任作直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設直線AN，NP，BN的斜率分別為k₁，k₂，k₃，若k₁+k₃=2k₂，試求m，n滿足的關系式．

Answer 1

分析 （1）由題意列出關于a，b，c的方程組，求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）當直線斜率不存在時，求出A，B的坐標，得到直線AN，BN的斜率，進一步得到NP的斜率，可得m，n滿足的關系式．當直線的斜率存在時，設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線l：y=k（x-1），聯(lián)立橢圓整理得：（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0，利用根與系數(shù)的關系求得直線AN，BN的斜率和，進一步得到NP的斜率，可得m，n滿足的關系式．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{|1×1-1×0+\sqrt{2}-1|}{\sqrt{2}}=b}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=1．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（2）①當直線斜率不存在時，由$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$，解得$x=1，y=±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
不妨設$A（1，\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$，$B（1，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$，又N（3，2），
∵k₁+k₃=$\frac{2-\frac{\sqrt{6}}{3}}{3-1}+\frac{2+\frac{\sqrt{6}}{3}}{3-1}$=2，
∴k₂=1，即$\frac{n-2}{m-3}=1$，
∴m，n的關系式為m-n-1=0．
②當直線的斜率存在時，設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線l：y=k（x-1），
聯(lián)立橢圓整理得：（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$，
∴${k_1}+{k_3}=\frac{{2-{y_1}}}{{3-{x_1}}}+\frac{{2-{y_2}}}{{3-{x_2}}}=\frac{{[2-k（{x_1}-1）]（3-{x_2}）+[2-k（{x_2}-1）]（3-{x_1}）}}{{（3-{x_1}）（3-{x_2}）}}$
=$\frac{{2{k_1}{k_2}-（4k+2）（{x_1}+{x_2}）+6k+12}}{{{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）+9}}$=$\frac{{2（12{k^2}+6）}}{{12{k^2}+6}}=2$．
∴k₂=1，則m，n的關系式為m-n-1=0．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用，體現(xiàn)了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．