Question

15．已知三角形ABC中，B（-1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．
（Ⅰ）求動點A的軌跡M的方程；
（Ⅱ）P為軌跡M上動點，△PBC的外接圓為⊙O₁（O₁為圓心），當(dāng)P在M上運(yùn)動時，求點O₁到x軸的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的定義可知：動點A的軌跡的軌跡為為以B，C為焦點的橢圓（y≠0），則c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）分別求得PB及BC的垂直平分線，聯(lián)立，由P在橢圓上，$y=\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}$，利用點到直線的距離公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得O₁到x軸的距離的最小值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意知，動點A滿足橢圓的定義，（1分）
設(shè)橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0，且y≠0），
所以，有|F₁F₂|=|BC|=2c=2，|AF₁|+|AF₂|=|AB|+|AC|=2a=4，（2分）
且a²=b²+c²解得$a=2，b=\sqrt{3}$（3分）
所以，動點A的軌跡C滿足的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1，（y≠0）$（4分）
沒有寫出約束條件的扣（1分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），不妨設(shè)$0＜{y_0}≤\sqrt{3}$
線段PB的垂直平分線方程為$y-\frac{y_0}{2}=-\frac{{{x_0}+1}}{y_0}（x-\frac{{{x_0}-1}}{2}）$（6分）
線段BC的垂直平分線方程為x=0，兩條垂線方程聯(lián)立求得
$y=（-\frac{{{x_0}+1}}{y_0}）（-\frac{{{x_0}-1}}{2}）+\frac{y_0}{2}=\frac{x_0^2-1}{{2{y_0}}}+\frac{y_0}{2}$（8分）
∵$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$∴$y=\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}$（9分）
∴⊙O₁的圓心O₁到x軸的距離$d=|{\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}}|$（10分）
又知$y=\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}$在$（0，\sqrt{3}）$上是單調(diào)遞減函數(shù)
∴當(dāng)${y_0}=\sqrt{3}$時，${y_{min}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴${d_{min}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（12分）

點評 本題考查橢圓的定義，直線的垂直平分線的求法，函數(shù)單調(diào)性與橢圓的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．