Question

5．2016年，某省環(huán)保部門制定了《省工業(yè)企業(yè)環(huán)境保護(hù)標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)基本要求及考核評分標(biāo)準(zhǔn)》，為了解本省各家企業(yè)對環(huán)保的重視情況，從中抽取了40家企業(yè)進(jìn)行考核評分，考核評分均在[50，100]內(nèi)，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖（滿分為100分）．
（Ⅰ）已知該省對本省每家企業(yè)每年的環(huán)保獎勵y（單位：萬元）與考核評分x的關(guān)系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{-7，50≤x＜60}\\{0，60≤x＜70}\\{3，70≤x＜80}\\{6，80≤x＜100}\end{array}\right.$（負(fù)值為企業(yè)上繳的罰金），試估計該省在2016年對這40家企業(yè)投放環(huán)保獎勵的平均值；
（Ⅱ）在這40家企業(yè)中，從考核評分在80分以上（含80分）的企業(yè)中隨機(jī)抽取3家企業(yè)座談環(huán)保經(jīng)驗，設(shè)X為所抽取的3家企業(yè)中考核評分在[80，90）內(nèi)的企業(yè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）由頻率分布直方圖可得：（0.020+0.025+0.040+a+0.005）×10=1，解得a．即可得出估計該省在2016年對這40家企業(yè)投放環(huán)保獎勵的平均值．
（II）在區(qū)間[80，90）有4家，在區(qū)間[90，100）有2家．X的可能取值為1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{2}^{3-k}}{{∁}_{6}^{3}}$，即可得出其分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）由頻率分布直方圖可得：（0.020+0.025+0.040+a+0.005）×10=1，解得a=0.01．
∴估計該省在2016年對這40家企業(yè)投放環(huán)保獎勵的平均值=-7×0.020×10+0×0.025×10+3×0.040×10+6×（0.01+0.005）×10=0.7（萬元）．
（II）在區(qū)間[80，90）有4家，在區(qū)間[90，100）有2家．X的可能取值為1，2，3．
P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{2}^{3-k}}{{∁}_{6}^{3}}$，P（X=1）=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$，P（X=2）=$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$，P（X=3）=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$．
可得X的分布列如下：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

可得EX=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}$=2．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、超幾何分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．