Question

12．（Ⅰ）用綜合法證明：a+b+c≥$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$（a，b，c均為正實(shí)數(shù)）；
（Ⅱ）已知：x∈R，a=x²-1，b=4x+5，求證：a，b中至少有一個(gè)不小于0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)2（a+b+c）-2（$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$）=$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²+（ $\sqrt$-$\sqrt{c}$）²+（ $\sqrt{c}$-$\sqrt{a}$）²≥0，可得2（a+b+c）≥2（ $\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$），從而證得結(jié)論．
（Ⅱ）用反證法，假設(shè) a＜0，b＜0，則a+b＜0，又a+b=x²-1+4x+5=x²+4x+4=（x+2）²≥0，這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，命題得證．

解答 證明：（Ⅰ）由于2（a+b+c）-2（$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$）
=（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²+（ $\sqrt$-$\sqrt{c}$）²+（$\sqrt{c}$-$\sqrt{a}$）²≥0，
∴2（a+b+c）≥2（$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$）
∴a+b+c≥$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$．
（Ⅱ）證明：假設(shè)a，b都小于0，即a＜0，b＜0，則a+b＜0．
又a+b=x²-1+4x+5=x²+4x+4=（x+2）²≥0，
這與假設(shè)所得a+b＜0矛盾，故假設(shè)不成立．
∴a，b中至少有一個(gè)不小于0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用綜合法（由因?qū)Ч�）證明不等式、分析法證（執(zhí)果索因）明不等式，用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．屬于中檔題．