Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂作一條直線（不與x軸垂直）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，如果△ABF₁恰好為等腰直角三角形，該直線的斜率為（　�。�

• A． ±1
• B． ±2
• C． $±\sqrt{2}$
• D． $±\sqrt{3}$

Answer 1

分析 假設(shè)△ABF₁構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，根據(jù)橢圓的定義及性質(zhì)求得|AF₁|=2（2-$\sqrt{2}$）a，|AF₂|=2a-m=（2$\sqrt{2}$-2）a，則直線AB的斜率為k=±tan∠AF₂F₁=±$\sqrt{2}$．

解答 解：可設(shè)|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，
若△ABF₁構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
則|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，
由橢圓的定義可得△ABF₁的周長(zhǎng)為4a，
即有4a=2m+$\sqrt{2}$m，即m=2（2-$\sqrt{2}$）a，
∴|AF₁|=2（2-$\sqrt{2}$）a，
則|AF₂|=2a-m=（2$\sqrt{2}$-2）a，
在Rt△AF₁F₂中，
tan∠AF₂F₁=$\frac{丨A{F}_{1}丨}{丨A{F}_{2}丨}$=$\sqrt{2}$，
∴直線AB的斜率為k=±tan∠AF₂F₁=±$\sqrt{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．