Question

19．觀察下列不等式：
1＜$\frac{4}{3}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{8}{5}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{12}{7}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{16}{9}$；
…
（1）由上述不等式，歸納出與正整數n有關的一個一般性結論：
（2）用數學歸納法證明你得到的結論．

Answer 1

分析 （1）由上述不等式，歸納出表達式的左側的關系與右側分子與分母的特征寫出一個正整數n（n≥2）有關的一般性結論；
（2）利用數學歸納法證明步驟，直接證明即可．

解答 解：（1）觀察下列不等式：
1＜$\frac{4}{3}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{8}{5}$=$\frac{4×2}{2×2+1}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{12}{7}$=$\frac{4×3}{2×3+1}$；
1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{16}{9}$=$\frac{4×4}{2×4+1}$；
…
由上述不等式可得1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{4n}{2n+1}$，
（2）以下用數學歸納法證明這個不等式．
①當n=1時，由題設可知，不等式顯然成立．
②假設當n=k時，不等式成立，即1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜$\frac{4k}{2k+1}$，
那么，當n=k+1時，有1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜$\frac{4k}{2k+1}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$
=$\frac{4k}{2k+1}$+$\frac{4}{（2k+2）（2k+2）}$＜$\frac{4k}{2k+1}$+$\frac{4}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{4k（2k+3）+4}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{4（2{k}^{2}+3k+1）}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{4（2k+1）（k+1）}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{4（k+1）}{2k+3}$．
所以當n=k+1時，不等式也成立．
根據①和②，可知不等式對任何n∈N₊都成立．

點評 本題考查歸納推理以及數學歸納法的證明方法的應用，考查邏輯推理能力以及計算能力，放縮法的應用．