Question

9．已知函數(shù)f（x）=[cos（$\frac{π}{2}$-x）-$\sqrt{3}$cosx]cosx．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 首先利用誘導(dǎo)公式以及倍角公式化簡解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)分別解答．

解答 解：（1）f（x）=[cos（$\frac{π}{2}$-x）-$\sqrt{3}$cosx]cosx=cosxsinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以f（x）的最小正周期為π，最大值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$可得$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ$，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ$]；
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$得到$\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{11π}{12}+kπ$，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{5π}{12}+kπ，\frac{11π}{12}+kπ$]．
所以函數(shù)在[$-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ$]單調(diào)遞增；在[$\frac{5π}{12}+kπ，\frac{11π}{12}+kπ$]（k∈Z）單調(diào)遞減．

點評 本題考查了三角函數(shù)式的化簡以及利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求三角函數(shù)的周期、最值以及單調(diào)區(qū)間；屬于常規(guī)題型．